Exercices interactifs sur le calcul littéral et la factorisation
(quiz de 15 exercices du collège au lycée)
15 Exercices évolutifs sur le calcul littéral et la factorisation
Bonjour !
Je m'appelle Anne-Cécile. Je te propose un petit quiz de maths évolutif pour voir où tu en es. L'idée, c'est juste de découvrir ensemble ce que tu arrives déjà à faire, et ensuite on s'attaque aux progrès !
À très vite !
Je m'appelle Anne-Cécile. Je te propose un petit quiz de maths évolutif pour voir où tu en es. L'idée, c'est juste de découvrir ensemble ce que tu arrives déjà à faire, et ensuite on s'attaque aux progrès !
À très vite !
Série 1 :
Calcul littéral Niveau 5ème)
Objectif : Regroupement de termes, gestion de deux variables et des premières soustractions.
Exercice A : Réduction de termes simples — A = 3 x
+ 5 - 2 x
+ 4
Réponse :
A = x
+ 9
Raisonnement :
On fait un peu de tri dans les copains ! D'un côté les x
, de l'autre les chiffres seuls :
• Les x : 3 x - 2 x , il en reste 1, soit simplement x.
• Les chiffres : 5 + 4 = 9.
On assemble le tout et on obtient : x + 9.
• Les x : 3 x - 2 x , il en reste 1, soit simplement x.
• Les chiffres : 5 + 4 = 9.
On assemble le tout et on obtient : x + 9.
Exercice B : Gestion de deux variables — B = 2 x
+ 3 y
- x
+ 5 y
- 2
Réponse :
B = x
+ 8 y
- 2
Raisonnement :
Pas de panique avec les deux lettres, on isole chaque petite famille dans son coin :
• La famille des x : 2 x - x donne x.
• La famille des y : 3 y + 5 y fait 8 y.
• Le nombre tout seul : -2.
Le résultat final s'écrit : x + 8 y - 2.
• La famille des x : 2 x - x donne x.
• La famille des y : 3 y + 5 y fait 8 y.
• Le nombre tout seul : -2.
Le résultat final s'écrit : x + 8 y - 2.
Exercice C : Soustractions et parenthèses — C = 5 x
- (2 x
- 3) + 4
Réponse :
C = 3 x
+ 7
Raisonnement :
Attention au piège classique ! Le signe " - " juste devant la parenthèse joue les trouble-fêtes et retourne tous les signes à l'intérieur :
• Ça devient : 5 x - 2 x + 3 + 4.
• On regroupe : 5 x - 2 x = 3 x , et 3 + 4 = 7.
Résultat : 3 x + 7.
• Ça devient : 5 x - 2 x + 3 + 4.
• On regroupe : 5 x - 2 x = 3 x , et 3 + 4 = 7.
Résultat : 3 x + 7.
Série 2 : Le Développement Simple (Niveau 4ème)
Objectif : Simple distributivité, gestion des signes négatifs et des fractions.
Exercice D : Simple distributivité classique —
D = 3(2 x
- 5) + 4 x
Réponse :
D = 10 x
- 15
Raisonnement :
On distribue gentiment le 3 à tout le monde à l'intérieur de la parenthèse : 3 fois 2 x
font 6 x
, et 3 fois -5 font -15.
On se retrouve avec : D = 6 x - 15 + 4 x.
On assemble les x entre eux (6 x + 4 x = 10 x ) pour obtenir 10 x - 15.
On se retrouve avec : D = 6 x - 15 + 4 x.
On assemble les x entre eux (6 x + 4 x = 10 x ) pour obtenir 10 x - 15.
Exercice E : Piège de signe — E = 5 x
- 2(3 x
- 4) + 6
Réponse :
E = - x
+ 14
Raisonnement :
Encore un piège de signe ! On distribue le -2 en faisant bien attention : -2 fois 3 x
= -6 x
, et -2 fois -4 = +8 (moins par moins, ça fait plus !).
• E = 5 x - 6 x + 8 + 6
• Les x : 5 x - 6 x = - x
• Les chiffres : 8 + 6 = 14
Résultat : - x + 14.
• E = 5 x - 6 x + 8 + 6
• Les x : 5 x - 6 x = - x
• Les chiffres : 8 + 6 = 14
Résultat : - x + 14.
Exercice F : Coefficient fractionnaire — F = (1/2)(4 x
- 6) + 3(2 x
+ 1)
Réponse :
F = 8 x
Raisonnement :
Une fraction pour commencer ? Pas de panique, on y va morceau par morceau :
• La première partie : prendre la moitié de 4 x donne 2 x , et la moitié de -6 donne -3. On a (2 x - 3).
• La deuxième partie : 3 fois 2 x = 6 x et 3 fois 1 = 3. On a (6 x + 3).
• On additionne le tout : 2 x - 3 + 6 x + 3. Les -3 et +3 s'annulent poliment, il reste 8 x .
• La première partie : prendre la moitié de 4 x donne 2 x , et la moitié de -6 donne -3. On a (2 x - 3).
• La deuxième partie : 3 fois 2 x = 6 x et 3 fois 1 = 3. On a (6 x + 3).
• On additionne le tout : 2 x - 3 + 6 x + 3. Les -3 et +3 s'annulent poliment, il reste 8 x .
Série 3 : La Factorisation de Base (Niveau 4ème / 3ème)
Objectif : Remonter le temps, identifier des facteurs communs numériques et littéraux.
Exercice G : Facteur numérique simple — G = 3 x
+ 12
Réponse :
G = 3( x
+ 4)
Raisonnement :
On décompose chaque terme pour faire apparaître clairement le facteur commun :
• G = 3 × x + 3 × 4
• On repère le facteur commun 3, on le factorise, et on rassemble les restes.
Résultat : 3( x + 4).
• G = 3 × x + 3 × 4
• On repère le facteur commun 3, on le factorise, et on rassemble les restes.
Résultat : 3( x + 4).
Exercice H : Variable et coefficient — H = 5 x
2
- 15 x
Réponse :
H = 5 x
( x
- 3)
Raisonnement :
On décompose les termes en mettant en évidence le nombre et la lettre communs :
• H = 5 × x × x - 5 × x × 3
• Le facteur commun est 5 x . On le met en avant, et il reste ( x - 3) dans la parenthèse.
Résultat : 5 x ( x - 3).
• H = 5 × x × x - 5 × x × 3
• Le facteur commun est 5 x . On le met en avant, et il reste ( x - 3) dans la parenthèse.
Résultat : 5 x ( x - 3).
Exercice I : Facteur multiple expert — I = 100 x
2
y
- 10 x
+ 20 x
y
2
Réponse :
I = 10 x
(10 x
y
- 1 + 2 y
2
)
Raisonnement :
On fait apparaître le plus grand facteur commun ( 10 x
) dans chaque terme :
• 100 x ² y = 10 x × (10 x y )
• -10 x = 10 x × (-1) (attention à ne pas oublier le -1 !)
• 20 x y ² = 10 x × (2 y ²)
Résultat : 10 x (10 x y - 1 + 2 y 2 ).
• 100 x ² y = 10 x × (10 x y )
• -10 x = 10 x × (-1) (attention à ne pas oublier le -1 !)
• 20 x y ² = 10 x × (2 y ²)
Résultat : 10 x (10 x y - 1 + 2 y 2 ).
Exercice J : Facteur commun « parenthèse » — J = ( x
+ 1)(3 x
- 5) + ( x
+ 1)(20 x
- 2)
Réponse :
J = ( x
+ 1)(23 x
- 7)
Raisonnement :
Le bloc parenthèse ( x
+ 1) est notre meilleur ami ici, il est partout ! On le met en avant et on rassemble les restes dans une grande parenthèse :
(3 x - 5) + (20 x - 2) ce qui fait 3 x + 20 x - 5 - 2, soit 23 x - 7.
Résultat : ( x + 1)(23 x - 7).
(3 x - 5) + (20 x - 2) ce qui fait 3 x + 20 x - 5 - 2, soit 23 x - 7.
Résultat : ( x + 1)(23 x - 7).
Exercice K : Le piège du facteur invisible (+1 caché) — K = ( x
+ 1)(3 x
- 5) + ( x
+ 1)
Réponse :
K = ( x
+ 1)(3 x
- 4)
Raisonnement :
Le grand classique du +1 caché ! Le dernier bloc s'écrit en réalité sous la forme
On factorise notre bloc commun ( x + 1) pour obtenir : ( x + 1) multiplié par [(3 x - 5) + 1].
En simplifiant l'intérieur : 3 x - 5 + 1 = 3 x - 4. D'où ( x + 1)(3 x - 4).
+ ( x
+ 1) × 1
.On factorise notre bloc commun ( x + 1) pour obtenir : ( x + 1) multiplié par [(3 x - 5) + 1].
En simplifiant l'intérieur : 3 x - 5 + 1 = 3 x - 4. D'où ( x + 1)(3 x - 4).
Exercice L : Carré et signe « - » — L = (3 x
+ 1) 2
- (3 x
+ 1)(6 x
- 1)
Réponse :
L = (3 x
+ 1)(-3 x
+ 2)
Raisonnement :
Un carré, c'est tout simplement la même parenthèse écrite deux fois de suite : (3 x
+ 1)(3 x
+ 1). Le facteur commun saute alors aux yeux : (3 x
+ 1).
Ce qu'il reste : (3 x + 1) - (6 x - 1) = 3 x + 1 - 6 x + 1 = -3 x + 2.
Résultat : (3 x + 1)(-3 x + 2).
Ce qu'il reste : (3 x + 1) - (6 x - 1) = 3 x + 1 - 6 x + 1 = -3 x + 2.
Résultat : (3 x + 1)(-3 x + 2).
Série 4 : factorisation de Seconde
Objectif : Identités remarquables, transformations préalables et structures en cascade.
Exercice M : Identité remarquable cachée — M = 25 x
2
- 1 + (5 x
+ 1)(8 x
- 2)
Réponse :
M = (5 x
+ 1)(13 x
- 3)
Raisonnement :
Regarde bien ce 25 x
au carré - 1... Ça sent l'identité remarquable (a au carré - b au carré) à plein nez ! Elle se transforme en
L'expression devient : (5 x - 1)(5 x + 1) + (5 x + 1)(8 x - 2).
Le facteur commun est (5 x + 1). En regroupant les restes : (5 x - 1) + (8 x - 2) = 13 x - 3.
Résultat : (5 x + 1)(13 x - 3).
(5 x
- 1)(5 x
+ 1)
.L'expression devient : (5 x - 1)(5 x + 1) + (5 x + 1)(8 x - 2).
Le facteur commun est (5 x + 1). En regroupant les restes : (5 x - 1) + (8 x - 2) = 13 x - 3.
Résultat : (5 x + 1)(13 x - 3).
Exercice N : Identité remarquable avec fractions — N = 25( x
- 2) 2
- (1/4)(8 x
- 7) 2
Réponse :
N = ( x
- 13/2)(9 x
- 27/2)
Raisonnement :
C'est un vrai travail de détective !
1. On commence par observer les nombres : 25, c'est 5 au carré, et le quart (1/4), c'est (1/2) au carré.
2. On enveloppe le tout pour faire apparaître une belle différence de deux carrés : [5( x - 2)] au carré - [(1/2)(8 x - 7)] au carré.
3. On pose nos deux termes A = 5 x - 10 et B = 4 x - 7/2, puis on applique l'identité classique : (A - B)(A + B).
4. Il ne reste plus qu'à nettoyer tranquillement l'intérieur des parenthèses en gérant les fractions pour obtenir le résultat : ( x - 13/2)(9 x - 27/2).
1. On commence par observer les nombres : 25, c'est 5 au carré, et le quart (1/4), c'est (1/2) au carré.
2. On enveloppe le tout pour faire apparaître une belle différence de deux carrés : [5( x - 2)] au carré - [(1/2)(8 x - 7)] au carré.
3. On pose nos deux termes A = 5 x - 10 et B = 4 x - 7/2, puis on applique l'identité classique : (A - B)(A + B).
4. Il ne reste plus qu'à nettoyer tranquillement l'intérieur des parenthèses en gérant les fractions pour obtenir le résultat : ( x - 13/2)(9 x - 27/2).
Exercice O : Le Boss Final (Quatre difficultés) — O = (4 x
2
- 9) - (3 - 2 x
)( x
+ 5) + (2 x
- 3) 2
Réponse :
O = 5(2 x
- 3)( x
+ 1)
Raisonnement :
Le Boss Final demande d'y aller pas à pas, comme un grand jeu vidéo :
1. On commence par transformer
2. On repère ensuite le piège vicieux de l'opposé :
3. On remarque enfin que le facteur commun
4. On rassemble tous les restes dans une grande parenthèse :
5. On factorise ce dernier morceau par 5 et on obtient le trophée final : 5(2 x - 3)( x + 1).
1. On commence par transformer
(4 x
² - 9)
grâce à une petite identité remarquable en (2 x
- 3)(2 x
+ 3)
.2. On repère ensuite le piège vicieux de l'opposé :
(3 - 2 x
)
est l'opposé de (2 x
- 3)
. En changeant le signe -
devant en +
, on le retourne proprement pour obtenir + (2 x
- 3)( x
+ 5)
.3. On remarque enfin que le facteur commun
(2 x
- 3)
est présent partout !4. On rassemble tous les restes dans une grande parenthèse :
(2 x
+ 3) + ( x
+ 5) + (2 x
- 3)
, ce qui se simplifie en 5 x
+ 5
.5. On factorise ce dernier morceau par 5 et on obtient le trophée final : 5(2 x - 3)( x + 1).
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